Habiendo formulado la Primera Ley, Kepler descubrió su segunda ley por ensayo y error. Kepler se dió cuenta de que la línea que conecta a los planetas y al Sol abarca igual área en igual lapso de tiempo. Si miras la animación podrás intuir lo que estamos hablando.
Mirando la figura a continuación, lo que Kepler encontró es que lleva la misma cantidad de tiempo para el planeta azul vaya de A a B mientras al igual que para ir de C a D. Pero la distancia de C a D es mucho más grande que la de A a B. Tiene que ser de modo que las regiones verdes tengan la misma área. De manera que el planeta debe moverse más rápidamente entre C y D que entre A y B.
Esto significa que cuando los planetas están cerca del Sol en su órbita, se mueven más rápidamente que cuando están más lejos
No siendo matemático indicar que la demostración de la segunda ley de Kepler, se fundamenta en la conservación del momento angular lo cual es consecuencia de que la fuerza de gravedad corresponde a una fuerza central.
Para ver esto, y poniendo un poco de Matemáticas, consideremos un planeta de masa, m, moviéndose alrededor del sol en una órbita elíptica.
La fuerza gravitacional que actúa sobre el planeta siempre se dirige a lo largo del radio vector, hacia el sol. Se le llama fuerza central a la fuerza de este tipo, dirigida hacia un punto fijo o en sentido contrario a él. El torque (momento de la fuerza) que actúa sobre el planeta debido a esta fuerza central es cero, ya que la fuerza F es paralela al radio r, esto es:
M =r x F = 0
Si consideramos que M = dL/dt = 0 , esto implica que el momento angular L(t) es constante, es decir no varía con el tiempo:
L = r x p = m r x v = vector constante (donde p = mv es el momento lineal)
Como L es un vector constante, perpendicular a a r y a v, vemos que el movimiento del planeta, su radio vector, r, y su velocidad, v, en cualquier instante están restringidos al plano perpendicular al vector constantes L.
Relacionándolo geométricamente podemos ver que el radio r barre un área dA en un tiempo dt. Esta área es igual a la mitad del área del paralelogramo formado por los vectores r y dr ( || r x dr || ) .
Como el desplazamiento del planeta en un tiempo dt es dr = vdt , obtenemos:
dA = 1/2 || r x dr || = 1/2 || r x vdt || = ||L||/2m dt
Por lo tanto:
es una constante. Es decir, en tiempos iguales, se barren áreas iguales.Aquí os dejo un breve vídeo ilustrativo sobre la 2a Ley de Kepler:
BUENOS CIELOS!!!
Fuentes:
Wikipedia
http://www.sociedadelainformacion.com
https://www.windows2universe.org
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